Bank Soal Matematika Dasar Transformasi Geometri (*Soal dan Pembahasan)

Transformasi geometri adalah suatu proses pemetaan satu-satu (one-one) dari sembarang atau beberapa titik di suatu bidang ke titik lain atau beberapa titik di bidang tersebut. Titik lain di bidang tersebut disebut bayangan atau peta.

Jenis Transformasi

1. Translasi (Pergeseran)
2. Refleksi (Pencerminan)
3. Rotasi (Perputaran)
4. Dilatasi Perkalian

1. Translasi (Pergeseran)

Translasi (Pergeseran) merupakan transformasi isometri dari setiap titik dengan jarak dan arah yang tetap.
Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x',y' \right)$.
$\left( x',y' \right)=T+(x,y)=\left( x+a,x+b \right)$
$\left( x',y' \right)= \begin{pmatrix}
a \\b
\end{pmatrix}+(x,y)=\left( x+a,x+b \right)$

2. Refleksi (Pencerminan)

Refleksi (Pencerminan) merupakan suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada suatu bidang dengan menggunakan sifat-sifat bayangan pada suatu cermin.

Beberapa pencerminan yang mungkin dapat dilakukan terhadap sebuah objek, diantaranya adalah:

• Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$X$ ($y=0$) maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x,-y \right)$.
  Dengan menggunakan matriks:
  $A'=\begin{pmatrix}
  x'\\y'
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  1 & 0\\
  0 & -1
  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  x\\y
  \end{pmatrix}$
• Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=k$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x,2k-y \right)$.
  Dengan menggunakan matriks,
  $A'=\begin{pmatrix}
  x'\\y'
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  1 & 0\\
  0 & -1
  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  x\\y
  \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
  0\\2k
  \end{pmatrix}$
• Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$Y$ ($x=0$) maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -x,y \right)$.
  Dengan menggunakan matriks,
  $A'=\begin{pmatrix}
  x'\\y'
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  -1 & 0\\
  0 & 1
  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  x\\y
  \end{pmatrix}$
• Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $x=k$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( 2k-x,y \right)$.
  Dengan menggunakan matriks,
  $A'=\begin{pmatrix}
  x'\\y'
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  -1 & 0\\
  0 & 1
  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  x\\y
  \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
  2k\\0
  \end{pmatrix}$
• Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap titik pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -x,-y \right)$.
  Dengan menggunakan matriks,
  $A'=\begin{pmatrix}
  x'\\y'
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  -1 & 0\\
  0 & -1
  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  x\\y
  \end{pmatrix}$
• Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap titik $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( 2a-x,2b-y \right)$.
  Dengan menggunakan matriks,
  $A'=\begin{pmatrix}
  x'\\y'
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  -1 & 0\\
  0 & -1
  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  x\\y
  \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
  2a\\2b
  \end{pmatrix}$
• Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( y,x \right)$
  Dengan menggunakan matriks,
  $A'=\begin{pmatrix}
  x'\\y'
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  0 & 1\\
  1 & 0
  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  x\\y
  \end{pmatrix}$
• Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( -y,-x \right)$
  Dengan menggunakan matriks,
  $A'=\begin{pmatrix}
  x'\\y'
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  0 & -1\\
  -1 & 0
  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  x\\y
  \end{pmatrix}$

3. Rotasi (Perputaran)

Rotasi (Perputaran) sebuah titik atau beberapa titik ditentukan oleh pusat rotasi $P(a,b)$ dan besar sudut rotasi ($\theta$).

• Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(x',y')$ dimana
  $x'= \left (x\ cos\ \theta-y\ sin\ \theta \right )$
  $y'= \left (x\ sin\ \theta+y\ cos\ \theta \right )$
  Dengan menggunakan matriks,
  $A'=\begin{pmatrix}
  x'\\y'
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  cos\ \theta & - sin\ \theta\\
  sin\ \theta & cos\ \theta
  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  x \\y
  \end{pmatrix}$
• Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(x',y')$ dimana
  $x'= \left (x\ cos\ \theta-y\ sin\ \theta \right )+\left (a\ sin\ \theta-b\ cos\ \theta \right )+a$
  $y'= \left (x\ sin\ \theta+y\ cos\ \theta \right )-\left (b\ cos\ \theta+a\ sin\ \theta \right )+b$
  Dengan menggunakan matriks,
  $A'=\begin{pmatrix}
  x'\\y'
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  cos\ \theta & - sin\ \theta\\
  sin\ \theta & cos\ \theta
  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  x-a\\y-b
  \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
  a\\ b
  \end{pmatrix}$

Perlu diingat besar sudut $\theta$ jika diputar berlawanan arah jarum jam bernilai $(+)$ sedangkan besar sudut $\theta$ jika diputar searah arah jarum jam bernilai $(-)$.

4. Dilatasi (Perkalian)

Dilatasi (Perkalian) adalah transformasi yang mengubah ukuran (diperbesar atau diperkecil) suatu bangun yang sebangun.

• Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(kx,ky)$
  Dengan menggunakan matriks,
  $A'=\begin{pmatrix}
  x'\\y'
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  k & 0\\
  0 & k
  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  x \\y
  \end{pmatrix}$
• Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'(x',y')$ dimana
  $x'= k\left (x-a \right )+a$
  $y'= k\left (y-b \right )+b$
  Dengan menggunakan matriks,
  $A'=\begin{pmatrix}
  x'\\y'
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  k & 0\\
  0 & k
  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  x-a\\y-b
  \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
  a\\ b
  \end{pmatrix}$

Catatan tambahan untuk dilatasi

• Jika bangun datar $A$ didilatasi dengan skala $k$ dan pusat $O(0,0)$ menjadi bangun datar $A'$, maka berlaku:
  Luas bangun datar $A'=k^{2} \times\ \text{luas bangun datar}\ A$.
• Luas segitiga $ABC$ dimana $A(x_{1},y_{1})$, $B(x_{2},y_{2})$, $C(x_{3},y_{3})$ adalah $[ABC]= \dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}
  1 & x_{1} & y_{1}\\
  1 & x_{2} & y_{2}\\
  1 & x_{3} & y_{3}
  \end{vmatrix}$
• Luas benda hasil transformasi adalah $\left | det\ T \right | \times \text{Luas Benda Asal}$

Komposisi Transformasi

Jika $T_{1}$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A'$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_{2}$ obyek $A'$ dipetakan ke obyek $A''(x'',y'')$ secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:

• Bayangan hasil komposisi transformasi Translasi
  $A''=T_{2}+T_{1}+A$
  $\begin{pmatrix}
  x''\\ y''
  \end{pmatrix}=T_{2}+T_{1}+\begin{pmatrix}
  x \\ y
  \end{pmatrix}$
  
• Bayangan hasil komposisi transformasi Refleksi, Rotasi dan Dilatasi
  $A''=T_{2} \cdot T_{1} \cdot A$
  $\begin{pmatrix}
  x''\\ y''
  \end{pmatrix}=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
  x \\ y
  \end{pmatrix}$
  

Untuk memantapkan kita menggunakan atau memahami aturan-aturan pada Transformasi Geometri di atas, mari kita coba diskusikan beberapa masalah berikut yang kita pilih dari soal-soal yang sudah diujikan pada Ujian Nasional berbasis kertas atau berbasis komputer atau dari soal-soal seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri atau Sekolah Kedinasan. Mari berdiskusi😉😏

1. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

Segitiga $ABC$ dengan koordinat titik sudut $A(2,-1)$, $B(6,-2)$, dan $C(5,2)$ dirotasi sejauh $180^{\circ}$ dengan pusat $(3,1)$. Bayangan koordinat titik sudut segitiga $ABC$ adalah...
$(A)\ A(4,3),\ B(0,4),\ C(1,0)$
$(B)\ A(3,4),\ B(4,0),\ C(0,1)$
$(C)\ A(-4,3),\ B(0,-4),\ C(-1,0)$
$(D)\ A(-4,-3),\ B(0,-4),\ C(-1,0)$
$(E)\ A(-4,-3),\ B(0,4),\ C(1,1)$

Alternatif Pembahasan: show

Bayangan titik $(x,y)$yang di rotasi dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(a,b)$ kita tentukan dengan matriks;
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
cos\ \theta & -sin\ \theta\\
sin\ \theta & cos\ \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-a\\
y-b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a\\
b
\end{pmatrix}$

Bayangan titik $(x,y)$ sudut segitiga yang di rotasi dirotasi sejauh $180^{\circ}$ dengan pusat $(3,1)$ adalah;
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
cos\ 180 & -sin\ 180\\
sin\ 180 & cos\ 180
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-3\\
y-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3\\
1
\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-3\\
y-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3\\
1
\end{pmatrix}$

Bayangan titik $A(2,-1)$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2-3\\
-1-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3\\
1
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-1\\
-2
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3\\
1
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
1+3\\
2+1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
4\\
3
\end{pmatrix}$
Dengan cara yang sama bayangan titik $B(6,-2)$ adalah $B'(0,4)$ dan bayangan titik $C(5,2)$ adalah $C'(1,0)$
*Alternatif: dirotasi sejauh $180^{\circ}$ dengan pusat $(a,b)$, sama juga dengan direfleksi dengan pusat $(a,b)$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ A(4,3),\ B(0,4),\ C(1,0)$

2. Soal Simulasi UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Persamaan bayangan garis $y=x+1$ ditransformasikan oleh matriks $ \begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix}$, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu $X$ adalah...
$(A)\ x+y-3=0$
$(B)\ x-y-3=0$
$(C)\ 3x+y+3=0$
$(D)\ x+3y+1=0$
$(E)\ 3x+y+1=0$

Alternatif Pembahasan: show

Matriks Transformasi, $T_{1}:\begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix}$
Matriks Transformasi terhadap sumbu $X$, $T_{2}: \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}$.

Garis ditransformasikan oleh $T_{1}$ dilanjutkan $T_{2}$.
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$M_{T_{2}} \cdot M_{T_{1}} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$

$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
Jika kurang paham perkalian matriks silahkan dicoba Matematika Dasar: Belajar Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Matriks
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$

$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
x+2y\\
-y
\end{pmatrix}$

dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;

• $y'=-y$ maka $y=-y'$
• $x'=x+2y$ maka $x=x'+2y'$

Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke persamaan garis;
$\begin{align}
y & = x+1 \\
-y' & = x'+2y'+1 \\
0 & = y'+x'+2y'+1 \\
3y'+x' +1 & = 0
\end{align}$

Persamaan garis adalah $3y'+x'+1=0$ dengan menghilangkan tanda aksen $(')$, tanda aksen $(')$ menyimbolkan bahwa garis adalah hasil transformasi.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x+3y+1=0$

3. Soal OSK Matematika SMP 2018 (*Soal Lengkap)

Perhatikan gambar berikut ini:

Persamaan garis hasil transformasi $R[0,180^{\circ}]$ dilanjutkan dengan pencerminan $y =-x$ terhadap garis $AB$ adalah...
$(A)\ y=2x+4$
$(B)\ y=2x-4$
$(C)\ y=-2x+4$
$(D)\ y=-2x-4$

Alternatif Pembahasan: show

Garis pada gambar melalui dua titik yaitu, $(0,2)$ dan $(4,4)$ maka persamaan garis yang terbentuk adalah:
$\begin{align} \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} & = \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\
\frac{y-2}{4-2} & = \frac{x-0}{4-0} \\
\frac{y-2}{2} & = \frac{x}{4} \\
4y-8 & = 2x \\
2y-x-4 & = 0 \end{align}$

Jika $(x,y)$ dirotasi dengan $R[0,180^{\circ}]$ maka bayangannya adalah:
$(x′,y′)=(-x,-y)$ $\Rightarrow$ $x′=-x$ dan $y′=-y$.

Jika $(x′,y′)$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$ maka bayangannya adalah:
$(x′′,y′′)=(-y′,-x′)$ $\Rightarrow$ $x′′=-y′$ dan $y′′=-x′$.

Hasil rotasi dan pencerminan diatas kita substitusi ke persamaan garis;
$\begin{align} 2y-x-4 & = 0 \\
2(-y′)-(-x′)-4 & = 0 \\
-2y′+x′-4 & = 0 \\
-2(-x′′)+(-y′′)-4 & = 0 \\
2x′′-y′′-4 & = 0 \end{align}$
Arti double aksen $(′′)$ pada persamaan garis diatas adalah menyimbolkan bayangan garis setelah dua kali di transformasikan. Persamaan bayangan garis setelah ditransformasikan adalah dengan menghilangkan tanda double aksen $(′′)$ yaitu $2x-y-4 = 0$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ y=2x-4$

4. Soal UN Matematika IPA 2017 (*Soal Lengkap)

Persamaan bayangan garis $y=3x+2$ oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks $ \begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix}$, dilanjutkan dengan rotasi pusat $O(0,0)$ sebesar $90^{\circ}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=-\dfrac{7}{3}x-\dfrac{2}{3} \\
(B)\ & y=-\dfrac{7}{3}x+\dfrac{2}{3} \\
(C)\ & y= \dfrac{7}{3}x+\dfrac{2}{3} \\
(D)\ & y=-\dfrac{3}{7}x+\dfrac{2}{3} \\
(E)\ & y=\dfrac{3}{7}x+\dfrac{2}{3}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Matriks Transformasi, $T_{1}:\begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix}$
Matriks Transformasi rotasi pusat $O(0,0)$ sebesar $90^{\circ}$, $T_{2}: \begin{pmatrix}
cos\ 90 & -sin\ 90\\
sin\ 90 & cos\ 90
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix}$.

Garis ditransformasikan oleh $T_{1}$ dilanjutkan $T_{2}$.
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$= \begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-y\\
x+2y
\end{pmatrix}$
dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;

• $x'=-y$ maka $y=-x'$
• $y'=x+2y$ maka $x=y'+2x'$

Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke persamaan garis;
$\begin{align}
y & = 3x+2 \\
-x' & = 3(y'+2x')+ 2 \\
-x' & = 3y'+6x'+ 2 \\
-x'-6x'-2 & = 3y' \\
3y' & = -7x' -2 \\
y' & = -\dfrac{7}{3}x' -\dfrac{2}{3}
\end{align}$

Persamaan garis adalah $y' = -\dfrac{7}{3}x' -\dfrac{2}{3}$ dengan menghilangkan tanda aksen $(')$, tanda aksen $(')$ menyimbolkan bahwa garis adalah hasil transformasi.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y=-\dfrac{7}{3}x-\dfrac{2}{3}$

5. Soal SNMPTN 2011 Kode 559 (*Soal Lengkap)

Jika titik $(3,4)$ dirotasikan berlawanan arah jarum jam sejauh $45^{\circ}$ dengan pusat titik asal, kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis $y=x$, maka koordinat bayangannya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left ( \dfrac{7\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) \\
(B)\ & \left ( -\dfrac{5\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) \\
(C)\ & \left ( \dfrac{5\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) \\
(D)\ & \left ( \dfrac{7\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) \\
(E)\ & \left ( -\dfrac{7\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Titik $(3,4)$ dirotasikan berlawanan arah jarum jam sejauh $45^{\circ}$ dengan pusat titik asal.
Matriks Transformasi, $T_{1}:\begin{pmatrix}
cos\ 45 & -sin\ 45\\
sin\ 45 & cos\ 45
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\\
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix}$.

Dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $y=x$
Matriks Transformasi, $T_{2}:\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}$.

Titik $(3,4)$ ditransformasikan oleh $T_{1}$ dilanjutkan $T_{2}$.
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\\
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
\dfrac{3}{2}\sqrt{2}+2 \sqrt{2} \\
\dfrac{3}{2}\sqrt{2}-2 \sqrt{2}
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
\dfrac{7}{2}\sqrt{2} \\
-\dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left ( \dfrac{7\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) $

6. Soal SNMPTN 2011 Kode 559 (*Soal Lengkap)

Jika titik $(3,4)$ dirotasikan berlawanan arah jarum jam sejauh $45^{\circ}$ dengan pusat titik asal, kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis $y=-x$, maka koordinat bayangannya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left ( \dfrac{7\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) \\
(B)\ & \left ( -\dfrac{7\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) \\
(C)\ & \left ( \dfrac{7\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) \\
(D)\ & \left ( \dfrac{5\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) \\
(E)\ & \left ( -\dfrac{5\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Titik $(3,4)$ dirotasikan berlawanan arah jarum jam sejauh $45^{\circ}$ dengan pusat titik asal.
Matriks Transformasi, $T_{1}:\begin{pmatrix}
cos\ 45 & -sin\ 45\\
sin\ 45 & cos\ 45
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\\
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix}$.

Dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $y=x$
Matriks Transformasi, $T_{2}:\begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}$.

Titik $(3,4)$ ditransformasikan oleh $T_{1}$ dilanjutkan $T_{2}$.
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\\
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
-\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
-\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
-\dfrac{3}{2}\sqrt{2}-2 \sqrt{2} \\
-\dfrac{3}{2}\sqrt{2}+2 \sqrt{2}
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
-\dfrac{7}{2}\sqrt{2} \\
\dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{pmatrix}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left ( -\dfrac{7\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )$

7. Soal UMB 2011 Kode 152 (*Soal Lengkap)

Jika setiap titik pada grafik $y=\sqrt{x}$ dicerminkan terhadap $y=x$, maka grafik yang dihasilkan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=x^{2},\ x \geq 0 \\
(B)\ & y=-\sqrt{x},\ x \geq 0 \\
(C)\ & y=-x^{2},\ x \leq 0 \\
(D)\ & y=\sqrt{-x},\ x \leq 0 \\
(E)\ & y=-\sqrt{-x},\ x \leq 0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

grafik $y=\sqrt{x}$ dicerminkan terhadap garis $y=x$
Matriks Transformasi, $T_{1}:\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}$.

$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
y\\
x
\end{pmatrix}$
dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;

• $x'=y$ atau $y=x'$
• $y'=x$ atau $x=y'$

Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke $y=\sqrt{x}$, perlu kita tambahkan bahwa agar grafik $y=\sqrt{x}$ mempunyai nilai real maka $x \geq 0$;
$\begin{align}
y & = \sqrt{x} \\
x' & = \sqrt{y'} \\
(x')^{2} & = y' \\
y' & = (x')^{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y=x^{2},\ x \geq 0 $

8. Soal UMB 2011 Kode 350 (*Soal Lengkap)

Jika setiap titik pada parabola $y=x^{2}$ di translasikan menurut vektor $(2,1)$ maka parabola yang dihasilkan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=x^{2}+2x+1 \\
(B)\ & y=x^{2}-2x+1 \\
(C)\ & y=x^{2}-2x+3 \\
(D)\ & y=x^{2}-4x+5 \\
(E)\ & y=x^{2}+4x+5
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Pparabola $y=x^{2}$ di translasikan menurut vektor $(2,1)$
Matriks Transformasi
$\left( x',y' \right)= \begin{pmatrix}
2 \\ 1
\end{pmatrix}+(x,y)=\left( x+2,y+1 \right)$
dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;

• $x'=x+2$ maka $x=x'-2$
• $y'=y+1$ atau $y=y'-1$

Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke $y=x^{2}$;
$\begin{align}
y & = x^{2} \\
y'-1 & = (x'-2)^{2} \\
y'-1 & = (x')^{2}-4x'+4 \\
y' & = (x')^{2}-4x'+4+1 \\
y' & = (x')^{2}-4x'+5 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y=x^{2}-4x+5$

9. Soal SBMPTN 2015 Kode 507 (*Soal Lengkap)

Pencerminan garis $y=-x+2$ terhadap $y=3$, menghasilkan garis...
$\begin{align}
(A)\ & y=x+4 \\
(B)\ & y=-x+4 \\
(C)\ & y=x+2 \\
(D)\ & y=x-2 \\
(E)\ & y=-x-4
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=k$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x', y' \right)=\left( x,2k-y \right)$
Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=3$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A'\left( x', y' \right)=\left( x,6-y \right)$

dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;

• $x'=x$ atau $x=x'$
• $y'=6-y$ atau $y=6-y'$

Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke $y=-x+2$;
$\begin{align}
y & = -x+2 \\
6-y' & = -x'+2 \\
-y' & = -x'+2-6 \\
-y' & = -x'-4 \\
y' & = x'+4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y=x+4$

10. Soal SPMB 2004 (*Soal Lengkap)

Diketahui lingkaran $L$ berpusat di titik $(−2,3)$ dan melalui titik $(1,5)$. Jika lingkaran $L$ diputar $90^{\circ}$ terhadap titik $(0,0)$ searah jarum jam, kemudian digeser kebawah sejauh $5$ satuan, maka persamaan lingkaran $L’$ yang dihasilkan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}+y^{2}-6x+6y+5=0 \\
(B)\ & x^{2}+y^{2}-6x+6y-5=0 \\
(C)\ & x^{2}+y^{2}+6x-6y+5=0 \\
(D)\ & x^{2}+y^{2}+6x-6y-5=0 \\
(E)\ & x^{2}+y^{2}-6x+6y=0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk menentukan persamaan lingkaran hasil transformasi kita coba dari transformasi titik pusat dan titik yang dilalui lingkaran.

Titik pusat $(-2,3)$ dirotasikan searah arah jarum jam sejauh $90^{\circ}$ dengan pusat $(0,0)$, maka bayangan yang dihasilkan;
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
cos\ (-90) & -sin\ (-90) \\
sin\ (-90) & cos\ (-90)
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
-2 \\
3
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
3 \\
2
\end{pmatrix}$
lalu digeser $5$ satuan kebawah sehingga titik pusat hasil transformasi adalah $(3,2-5)$ atau $(3,-3)$.

Titik $(1,5)$ dirotasikan searah arah jarum jam sejauh $90^{\circ}$ dengan pusat $(0,0)$, maka bayangan yang dihasilkan;
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
cos\ (-90) & -sin\ (-90) \\
sin\ (-90) & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 \\
5
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 \\
-1
\end{pmatrix}$
lalu digeser $5$ satuan kebawah sehingga titik hasil transformasi adalah $(5,-1-5)$ atau $(5,-6)$

Persamaan lingkaran dengan pusat $(3,-3)$ dan melalui titik $(5,-6)$;
$r= \sqrt{(5-3)^{2}+(-6+3)^{2}}$
$r= \sqrt{4+9}$
$r= \sqrt{13}$

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
$(x-3)^{2}+(y+3)^{2}=13$
$x^{2}-6x+9+y^{2}+6y+9=13$
$x^{2}+y^{2}-6x+6y+5=0$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2}+y^{2}-6x+6y+5=0$

11. Soal UN Matematika IPA 2007 (*Soal Lengkap)

Bayangan kurva $y=x^{2}-3$ jika dicerminkan terhadap sumbu $X$ dilanjutkan dengan dilatasi pusat $O$ dan faktor skala $2$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=\dfrac{1}{2}x^{2}+6 \\
(B)\ & y=\dfrac{1}{2}x^{2}-6 \\
(C)\ & y=\dfrac{1}{2}x^{2}-3 \\
(D)\ & y=6-\dfrac{1}{2}x^{2} \\
(E)\ & y=3-\dfrac{1}{2}x^{2}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Matriks Transformasi dicerminkan terhadap sumbu $X$
$T_{1}:\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}$.

Dilanjutkan dengan dilatasi faktor skala $2$
Matriks Transformasi, $T_{2}:\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}$.

Kurva ditransformasikan oleh $T_{1}$ dilanjutkan $T_{2}$.
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$M_{T_{2}} \cdot M_{T_{1}} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$

$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
2 & 0\\
0 & 2
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$

$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
2 & 0\\
0 & -2
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$

$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
2x \\
-2y
\end{pmatrix}$

dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;

• $x'=2x$ maka $x=\dfrac{1}{2}x'$
• $y'=-2y$ maka $y=-\dfrac{1}{2}y'$

Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke persamaan kurva;
$\begin{align}
y & = x^{2}-3 \\
\dfrac{1}{2}y' & = \left( \dfrac{1}{2}x' \right)^{2}-3 \\
-\dfrac{1}{2}y' & = \dfrac{1}{4} \left( x' \right)^{2}-3 \\
-y' & = \dfrac{1}{2} \left( x' \right)^{2}-6 \\
y' & = -\dfrac{1}{2} \left( x' \right)^{2}+6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y=6-\dfrac{1}{2}x^{2}$

12. Soal UM UGM 2005 (*Soal Lengkap)

Jika matriks $\begin{pmatrix}
a & -3 \\
4 & b
\end{pmatrix}$ mentransformasikan titik $(5,1)$ ke $(7,12)$ dan inversnya mentransformasikan titik $P$ ke titik $(1,0)$, koordinat titik $P$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & (2,-4) \\
(B)\ & (2, 4) \\
(C)\ & (-2,4) \\
(D)\ & (-2,-4) \\
(E)\ & (1,-3) \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Matriks $\begin{pmatrix}
a & -3 \\
4 & b
\end{pmatrix}$ mentransformasikan titik $(5,1)$ ke $(7,12)$ sehingga berlaku:
$ \begin{pmatrix}
7 \\
12
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
a & -3\\
4 & b
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
5\\
1
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
7 \\
12
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
5a -3 \\
20 + b
\end{pmatrix}$

Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $5a-3=7$ maka $a=2$ dan $20+b=12$ maka $b=-8$;

Matriks transformasi $\begin{pmatrix}
a & -3\\
4 & b
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 & -3\\
4 & -8
\end{pmatrix}$

Invers matriks transformasinya adalah $\dfrac{1}{-4}\begin{pmatrix}
-8 & 3 \\
-4 & 2
\end{pmatrix}$

Matriks $\dfrac{1}{-4}\begin{pmatrix}
-8 & 3 \\
-4 & 2
\end{pmatrix}$ mentransformasikan titik $P(x,y)$ ke $(1,0)$ sehingga berlaku:
$ \begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}= \dfrac{1}{-4}\begin{pmatrix}
-8 & 3 \\
-4 & 2
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}= \dfrac{1}{-4}\begin{pmatrix}
-8x+3y \\
-4x+2y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
-4 \\
0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-8x+3y \\
-4x+2y
\end{pmatrix}$

Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
-8x+3y = -4 & \times 1 \\
-4x+2y = 0 & \times 2 \\
\hline
-8x+3y = -4 & \\
-8x+4y = 0 & (-) \\
\hline
-y = -4 \\
y = 4 \\
x = 2 \\
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ (2, 4)$

13. Soal UN Matematika IPA 2006 (*Soal Lengkap)

Persamaan bayangan parabola $y=x^{2}-3$, karena refleksi terhadap sumbu $X$ dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks $ \begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & 1
\end{pmatrix}$, adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y^{2}+x^{2}-2xy-x+2y-3=0 \\
(B)\ & y^{2}+x^{2}+2xy+x-2y-3=0 \\
(C)\ & y^{2}+x^{2}-2xy+x-2y-3=0 \\
(D)\ & y^{2}+x^{2}+2xy+x+2y-3=0 \\
(E)\ & y^{2}-x^{2}+2xy+x+2y-3=0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Matriks Transformasi direfleksikan terhadap sumbu $X$ adala $T_{1}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}$.

Dilanjutkan matriks transformasi oleh $T_{2}=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & 1
\end{pmatrix}$

$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=T_{2} \cdot T_{1} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
2 & -1\\
1 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}
2x-y \\
x-y
\end{pmatrix}$

dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh $x'=2x-y$ dan $y'=x-y$
$\begin{array}{c|c|cc}
2x-y = x' & \\
x-y = y' & (-) \\
\hline
x = x'-y' & \\
y = x'-2y'
\end{array} $

Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke persamaan;
$\begin{align}
y & =x^{2}-3 \\
x'-2y' & =(x'-y')^{2}-3 \\
x -2y & =(x -y )^{2}-3 \\
x -2y & =x^{2}+y^{2}-2xy-3 \\
x^{2}+y^{2}-2xy-3-x+2y & = 0 \\
y^{2}+x^{2}-2xy-x+2y-3 & = 0
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y^{2}+x^{2}-2xy-x+2y-3=0$

14. Soal SBMPTN 2013 Kode 332 (*Soal Lengkap)

Titik $(2a,-a)$ diputar $90^{\circ}$ berlawanan arah jarum jam dengan pusat perputaran titik $(1,1)$. Jika hasil rotasi adalah $(2+a,-2)$, maka $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -1 \\
(E)\ & -2
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Matriks Transformasi rotasi sebesar $90^{\circ}$ pusat $(1,1)$,
$T_{1}: \begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
cos\ 90 & - sin\ 90\\
sin\ 90 & cos\ 90
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-1\\y-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1\\ 1
\end{pmatrix}$.

Titik $(2a,-a)$ diputar $90^{\circ}$ berlawanan arah jarum jam dengan pusat perputaran titik $(1,1)$ menghasilkan $(2+a,-2)$, sehingga berlaku:
$\begin{pmatrix}
2+a \\ -2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & - 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2a-1 \\-a-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1\\ 1
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
2+a \\ -2'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a+1 \\ 2a-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1\\ 1
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
2+a \\ -2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a+2 \\ 2a
\end{pmatrix}$
dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh $-2=2a$ maka $a=-1$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Transformasi Geometri (*Soal dan Pembahasan) di atas adalah coretan kreatif siswa pada

• lembar jawaban penilaian harian matematika,
• lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
• presentasi hasil diskusi matematika atau
• pembahasan quiz matematika di kelas.

Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Transformasi Geometri sangat diharapkan😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;

Share this post